Théorème de Pythagore — 3e

Le théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC².

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.

Théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

BC^2=AB^2+AC^2

Dans un triangle ABC rectangle en A, si \(AB=3\) cm et \(AC=4\) cm, alors \(BC^2=3^2+4^2=25\), donc \(BC=5\) cm.

L’hypoténuse est toujours le côté opposé à l’angle droit.

La réciproque

Pour prouver qu'un triangle est rectangle, on compare le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres côtés. Si c² = a² + b², alors le triangle est rectangle.

Calcul d'une longueur

Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, on applique le théorème de Pythagore puis on isole la longueur cherchée.

BC=\sqrt{AB^2+AC^2}

AB=\sqrt{BC^2-AC^2}

Si \(BC=13\) cm et \(AC=5\) cm, alors \(AB=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) cm.

Réciproque

La réciproque permet de savoir si un triangle est rectangle.

\text{Si }BC^2=AB^2+AC^2\text{, alors le triangle ABC est rectangle en A.}

Si un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm, alors \(6^2+8^2=36+64=100=10^2\). Le triangle est donc rectangle.