Théorème de Thalès — 3e

Configuration et égalité des rapports

Lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, les longueurs correspondantes sont proportionnelles.

On écrit par exemple AB/AC = AD/AE = BD/CE selon la configuration.

Configuration

On considère un triangle ABC. Le point D appartient à [AB], le point E à [AC], et les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Le théorème de Thalès donne les rapports de côtés correspondants :

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

Vérifie toujours l’alignement et le parallélisme avant d’utiliser la formule.

Méthode de résolution

Repère d'abord les droites parallèles, puis les sommets communs. Écris les rapports dans le même ordre et termine par un produit en croix.

Méthode

Pour calculer une longueur, écris les rapports correspondants dans le même ordre, puis isole la longueur cherchée.

\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}

Si \((DE)\parallel(BC)\), \(AD=2\) cm, \(AB=6\) cm et \(AC=9\) cm, alors \(\frac{2}{6}=\frac{AE}{9}\), d’où \(AE=\frac{2\times9}{6}=3\) cm.

Agrandissement/réduction

Dans cette configuration, les deux triangles ADE et ABC ont des côtés correspondants proportionnels.

k=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}

Lorsque les points D et E sont sur les côtés du triangle, le coefficient k du petit triangle vers le grand est supérieur ou égal à 1.

Si \(AD=2\) cm et \(AB=6\) cm, alors \(k=\frac{6}{2}=3\). Toutes les longueurs du grand triangle sont trois fois celles du petit.